​三角形垂心怎么证？不妨让外心来帮忙

三角形垂心怎么证？不妨让外心来帮忙

三角形的外心，指的是三角形3条边的垂直平分线交点，如下图所示。

三角形的外心

证明非常简单，只需抓住“垂直平分线上的点到两端的距离相等”，易得图中3条虚线长度均相等。因此，若以该点为圆心，虚线长度为半径作圆，则可以使三角形的3个顶点恰好位于圆上。这个圆称为三角形的外接圆，外心也因此而得名。

三角形的垂心，指的是三角形3条高的交点，如下图所示。

三角形的垂心

垂心的证明，相对来说就要难一些。其实，外心也好垂心也罢，由于相应连线均垂直于三角形的边，因此存在一定的联系，可以通过外心的存在，巧妙构造图形，从而证明垂心的存在。

过三角形的3个顶点分别作对边的平行线，可以得到一个新的三角形，如下图中红色三角形所示。

构造新三角形

易知，A、B、C恰好为红色三角形的各边中点，三角形ABC的各边恰好是红色三角形的中位线。如果过A、B、C分别作红色边的垂线，，不就能得到红色三角形的外心吗？参见下图，垂线用绿色标记。

外心和垂心的关系

聪明的你，一定看出来了，绿线交点不光是红线三角形的外心，同时也是三角形ABC的垂心！

由此可以得到结论，三角形的外心和它的中点三角形的垂心是重合的。

上述证明方法，相对于传统证法来说，显得更加巧妙，令人拍案叫绝。

数学真是奇妙，看似毫不相干的东西，居然就这么联系起来了。体验数学之美，实乃学习数学的一大乐趣！